Uždaviniai pagal lygius

1.2

Rask tiesės, einančios per taškus (−2; 5) ir (2; −3), polinkį.

Užuomina

Ta pati formulė. Atidžiai su minusais: atimant neigiamą skaičių, jis pridedamas.

Sprendimas

Δy = −3 − 5 = −8

Δx = 2 − (−2) = 4

k = −8 / 4 = −2

tiesė leidžiasi

1.3

Rask funkcijos f(x) = x² vidutinį kitimo greitį intervale [1; 3].

Užuomina

Vidutinis kitimo greitis – tai kirstinės per galų taškus polinkis: (f(b) − f(a)) / (b − a).

Sprendimas

f(3) = 9, f(1) = 1

(f(3) − f(1)) / (3 − 1) = 8 / 2

= 4

1.4

Automobilis per t sekundžių nuvažiuoja s(t) = t² + t metrų. Koks jo vidutinis greitis (m/s) nuo t = 2 iki t = 5?

Užuomina

Vidutinis greitis = nuvažiuotas kelias / laikas. Kelias tarp dviejų momentų yra s(5) − s(2).

Sprendimas

s(5) = 25 + 5 = 30 m

s(2) = 4 + 2 = 6 m

v_vid = (30 − 6) / (5 − 2) = 24 / 3

= 8 m/s

1.5

Rask f′(x), kai f(x) = x². Pabandyk ir per apibrėžimą (su h → 0).

Užuomina

Užrašyk kirstinės polinkį (f(x + h) − f(x)) / h, išskleisk (x + h)² ir suprastink iš h.

Sprendimas

(f(x+h) − f(x)) / h = ((x+h)² − x²) / h

= (x² + 2xh + h² − x²) / h = (2xh + h²) / h

= 2x + h

h → 0: f′(x) = 2x

Teorija: 2 skyrius

1.6

Rask f′(x), kai f(x) = 3x − 5.

Užuomina

Tai tiesė. Kiek kartų tiesės polinkis keičiasi, kai judame išilgai jos?

Sprendimas

(f(x+h) − f(x)) / h = (3x + 3h − 5 − 3x + 5) / h

= 3h / h = 3

f′(x) = 3

tiesės išvestinė = jos polinkis

Teorija: 2 skyrius

1.7

Rask f′(x), kai f(x) = x³ + 2x.

Užuomina

Sumos išvestinė = išvestinių suma. Laipsnio formulė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹.

Sprendimas

(x³)′ = 3x²

(2x)′ = 2

f′(x) = 3x² + 2

1.8

Duota f(x) = x³ − 4x² + x. Apskaičiuok f′(2).

Užuomina

Pirma rask visą f′(x), tik tada įstatyk x = 2.

Sprendimas

f′(x) = 3x² − 8x + 1

f′(2) = 3·4 − 8·2 + 1 = 12 − 16 + 1

f′(2) = −3

★★Lygis 2 – Formulės

Ko išmoksi: naudoti išvestinių lentelę – neigiami ir trupmeniniai laipsniai, šaknys, sin, cos, eˣ, ln x.

2.1

Rask f′(x), kai f(x) = 1/x.

Užuomina

Perrašyk laipsniu: 1/x = x⁻¹. Laipsnio formulė galioja ir neigiamiems laipsniams.

Sprendimas

f(x) = x⁻¹

f′(x) = −1·x⁻²

f′(x) = −1/x²

2.2

Rask f′(x), kai f(x) = 2/x³.

Užuomina

Skaičių 2 palik priekyje, o 1/x³ perrašyk kaip x su neigiamu laipsniu.

Sprendimas

f(x) = 2x⁻³

f′(x) = 2·(−3)·x⁻⁴ = −6x⁻⁴

f′(x) = −6/x⁴

2.3

Rask f′(x), kai f(x) = √x.

Užuomina

Šaknis yra laipsnis ½: √x = x^(1/2).

Sprendimas

f(x) = x^(1/2)

f′(x) = ½·x^(1/2 − 1) = ½·x^(−1/2)

f′(x) = 1/(2√x)

2.4

Rask f′(x), kai f(x) = x√x.

Užuomina

Prieš diferencijuodamas sujunk į vieną laipsnį: x·x^(1/2) = x^(?).

Sprendimas

f(x) = x¹·x^(1/2) = x^(3/2)

f′(x) = 3/2·x^(1/2)

f′(x) = 1,5√x

2.5

Duota f(x) = ∛(x²). Apskaičiuok f′(8).

Užuomina

∛(x²) = x^(2/3). Po diferencijavimo prisimink, kad ∛8 = 2.

Sprendimas

f(x) = x^(2/3)

f′(x) = 2/3·x^(−1/3) = 2 / (3∛x)

f′(8) = 2 / (3·2)

f′(8) = 1/3

2.6

Rask f′(x), kai f(x) = 3 sin x − 2 cos x.

Užuomina

(sin x)′ = cos x, o (cos x)′ = −sin x – su minusu! Du minusai kartu duoda pliusą.

Sprendimas

(3 sin x)′ = 3 cos x

(−2 cos x)′ = −2·(−sin x) = 2 sin x

f′(x) = 3 cos x + 2 sin x

2.7

Rask f′(x), kai f(x) = 4eˣ − ln x.

Užuomina

Funkcija eˣ diferencijuojant nesikeičia. (ln x)′ rasi lentelėje puslapio apačioje.

Sprendimas

(4eˣ)′ = 4eˣ

(ln x)′ = 1/x

f′(x) = 4eˣ − 1/x

2.8

Rask f′(x), kai f(x) = (x² + 3) / x.

Užuomina

Dalmens taisyklės nereikia: padalyk kiekvieną skaitiklio narį iš x atskirai.

Sprendimas

f(x) = x²/x + 3/x = x + 3x⁻¹

f′(x) = 1 + 3·(−1)·x⁻²

f′(x) = 1 − 3/x²

★★★Lygis 3 – Taisyklės

Ko išmoksi: diferencijuoti sandaugą, dalmenį ir sudėtinę funkciją („lėlę lėlėje“).

3.1

Rask f′(x), kai f(x) = x² sin x.

Užuomina

Sandauga: (uv)′ = u′v + uv′. Pažymėk u = x², v = sin x.

Sprendimas

u = x², u′ = 2x

v = sin x, v′ = cos x

f′(x) = 2x sin x + x² cos x

3.2

Rask f′(x), kai f(x) = (2x + 1)eˣ.

Užuomina

Vėl sandauga. Gale iškelk bendrą daugiklį eˣ prieš skliaustus.

Sprendimas

u = 2x + 1, u′ = 2

v = eˣ, v′ = eˣ

f′(x) = 2eˣ + (2x + 1)eˣ

f′(x) = (2x + 3)eˣ

3.3

Rask f′(x), kai f(x) = x / (x + 1).

Užuomina

Dalmuo: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v². Skaitiklyje daug kas susiprastins.

Sprendimas

u = x, u′ = 1; v = x + 1, v′ = 1

f′(x) = (1·(x + 1) − x·1) / (x + 1)²

f′(x) = 1 / (x + 1)²

3.4

Duota f(x) = (x² + 1) / (x − 1). Apskaičiuok f′(2).

Užuomina

Dalmens taisyklė. Supaprastinti visai išvestinei nebūtina – galima iš karto įstatyti x = 2 į kiekvieną dalį.

Sprendimas

f′(x) = (2x·(x − 1) − (x² + 1)·1) / (x − 1)²

= (x² − 2x − 1) / (x − 1)²

f′(2) = (4 − 4 − 1) / 1²

f′(2) = −1

3.5

Rask f′(x), kai f(x) = (3x − 2)⁵.

Užuomina

Išorinė „lėlė“ – penktasis laipsnis, vidinė – 3x − 2. Nepamiršk padauginti iš vidinės išvestinės.

Sprendimas

išorinė: (□⁵)′ = 5□⁴

vidinė: (3x − 2)′ = 3

f′(x) = 5(3x − 2)⁴ · 3

f′(x) = 15(3x − 2)⁴

3.6

Rask f′(x), kai f(x) = sin(x²).

Užuomina

Išorinė funkcija – sin □, vidinė – x². Išorinės išvestinėje vidus lieka toks pat.

Sprendimas

(sin □)′ = cos □, □ = x²

(x²)′ = 2x

f′(x) = 2x cos(x²)

3.7

Duota f(x) = √(x² + 9). Apskaičiuok f′(4).

Užuomina

(√□)′ = 1/(2√□), o po to – padaugink iš (x² + 9)′.

Sprendimas

f′(x) = 1/(2√(x² + 9)) · 2x = x / √(x² + 9)

f′(4) = 4 / √(16 + 9) = 4 / 5

f′(4) = 0,8

3.8

Duota f(x) = e^(2x) · ln x. Apskaičiuok f′(1).

Užuomina

Sandauga, o pirmasis daugiklis dar ir sudėtinė funkcija: (e^(2x))′ = 2e^(2x). Prisimink, kad ln 1 = 0.

Sprendimas

f′(x) = 2e^(2x)·ln x + e^(2x)·1/x

f′(1) = 2e²·0 + e²·1

f′(1) = e² ≈ 7,39

★★★★Lygis 4 – Liestinė ir tyrimas

Ko išmoksi: rašyti liestinės lygtį ir iš išvestinės ženklo sužinoti, kur funkcija kyla, kur leidžiasi ir kur jos viršūnės.

4.1

Parašyk funkcijos f(x) = x² − 3x grafiko liestinės taške x₀ = 1 lygtį. Įvesk y = …

Užuomina

Reikia dviejų skaičių: f(1) (taško aukštis) ir f′(1) (polinkis). Tada y = f(a) + f′(a)(x − a).

Sprendimas

f(1) = 1 − 3 = −2

f′(x) = 2x − 3, f′(1) = −1

y = −2 + (−1)(x − 1)

y = −x − 1

4.2

Parašyk funkcijos f(x) = √x grafiko liestinės taške x₀ = 4 lygtį.

Užuomina

f′(x) = 1/(2√x). Įstatyk x = 4 ir į funkciją, ir į išvestinę.

Sprendimas

f(4) = 2

f′(4) = 1/(2·2) = 1/4

y = 2 + ¼(x − 4) = 2 + ¼x − 1

y = 0,25x + 1

4.3

Parašyk funkcijos f(x) = 2/x grafiko liestinės taške x₀ = 1 lygtį.

Užuomina

2/x = 2x⁻¹, todėl išvestinė bus neigiama – liestinė leisis žemyn.

Sprendimas

f(1) = 2

f′(x) = −2/x², f′(1) = −2

y = 2 − 2(x − 1)

y = −2x + 4

4.4

Funkcijos f(x) = x² − 4x + 1 grafiko liestinė lygiagreti tiesei y = 2x + 7. Parašyk tos liestinės lygtį.

Užuomina

Lygiagrečios tiesės turi vienodą polinkį. Išspręsk f′(x) = 2 – taip rasi lietimosi tašką.

Sprendimas

f′(x) = 2x − 4 = 2 ⇒ x₀ = 3

f(3) = 9 − 12 + 1 = −2

y = −2 + 2(x − 3)

y = 2x − 8

4.5

Kokį kampą (laipsniais) su Ox ašimi sudaro funkcijos f(x) = x³/3 grafiko liestinė taške x₀ = 1?

Užuomina

Liestinės polinkis lygus kampo tangentui: tg α = f′(x₀).

Sprendimas

f′(x) = 3x²/3 = x²

tg α = f′(1) = 1

α = 45°

4.6

Rask funkcijos f(x) = x⁴ − 2x² kritinius taškus.

Užuomina

Kritiniai taškai – kur f′(x) = 0. Iškelk bendrą daugiklį prieš skliaustus.

Sprendimas

f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1)

= 4x(x − 1)(x + 1) = 0

x = −1; x = 0; x = 1

Teorija: 6 skyrius

4.7

Rask funkcijos f(x) = x³ − 3x didėjimo ir mažėjimo intervalus. Užsirašyk sąsiuvinyje, tada palygink.

Užuomina

Rask, kur f′(x) = 0, ir nubraižyk ženklų lentelę: kur f′ > 0 – kyla, kur f′ < 0 – leidžiasi.

Sprendimas

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)

f′ = 0, kai x = −1 arba x = 1

x < −1: f′ > 0 (+); −1 < x < 1: f′ < 0 (−); x > 1: f′ > 0 (+)

didėja: (−∞; −1] ir [1; +∞)

mažėja: [−1; 1]

Teorija: 6 skyrius

4.8

Rask funkcijos f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 maksimumo reikšmę y_max.

Užuomina

Rask kritinius taškus, o ženklų lentelėje ieškok to, kur f′ keičia ženklą iš „+“ į „−“. Reikšmė – tai f tame taške.

Sprendimas

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)

x < 1: +; 1 < x < 3: −; x > 3: +

x = 1 – maksimumas, x = 3 – minimumas

y_max = f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5

(y_min = f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1)

Teorija: 6 skyrius

★★★★★Lygis 5 – VBE lygis

Ko išmoksi: spręsti brandos egzamino uždavinius – reikšmės intervale, optimizavimas, judėjimas, antroji išvestinė.

5.1

Rask funkcijos f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 5 didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [−2; 3]. Įvesk abi per kabliataškį.

Užuomina

Kandidatai: intervalo galai ir kritiniai taškai, esantys intervale. Apskaičiuok f visuose ir palygink.

Sprendimas

f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x − 2)(x + 1)

kritiniai: x = −1, x = 2 (abu intervale)

f(−2) = −16 − 12 + 24 + 5 = 1

f(−1) = −2 − 3 + 12 + 5 = 12

f(2) = 16 − 12 − 24 + 5 = −15

f(3) = 54 − 27 − 36 + 5 = −4

didžiausia 12, mažiausia −15

5.2

Rask funkcijos f(x) = x + 4/x mažiausią reikšmę intervale [1; 4].

Užuomina

(4/x)′ = −4/x². Kritinis taškas su neigiamu x į intervalą nepatenka.

Sprendimas

f′(x) = 1 − 4/x² = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2

intervale tik x = 2

f(1) = 5, f(2) = 2 + 2 = 4, f(4) = 4 + 1 = 5

mažiausia reikšmė 4 (kai x = 2)

5.3

Iš kvadratinio 30 cm × 30 cm kartono lapo kampų išpjaunami vienodi kvadratėliai su kraštine x cm, o kraštai užlenkiami – gaunama dėžutė be dangčio. Kokio dydžio x (cm) reikia, kad dėžutės tūris būtų didžiausias?

Užuomina

Dugnas – kvadratas su kraštine 30 − 2x, aukštis – x. Užrašyk V(x), nepamiršk, kad 0 < x < 15.

Sprendimas

V(x) = x(30 − 2x)², 0 < x < 15

V′(x) = (30 − 2x)² + x·2(30 − 2x)·(−2)

= (30 − 2x)(30 − 2x − 4x) = (30 − 2x)(30 − 6x)

V′ = 0: x = 15 (netinka) arba x = 5

x < 5: V′ > 0; 5 < x < 15: V′ < 0 ⇒ maksimumas

x = 5 cm, V = 5·20² = 2000 cm³

5.4

Prie ilgos sienos reikia aptverti stačiakampį sklypą. Siena – viena kraštinė, kitoms trims yra 60 m tvoros. Koks didžiausias gali būti sklypo plotas (m²)?

Užuomina

Dvi kraštines, statmenas sienai, pažymėk x. Trečioji kraštinė – kas lieka iš 60 m. Užrašyk plotą kaip vieno kintamojo funkciją.

Sprendimas

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x

S(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x², 0 < x < 30

S′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15

S′ keičia ženklą iš + į − ⇒ maksimumas

y = 60 − 30 = 30

S = 15 · 30 = 450 m²

5.5

Uždaros cilindro formos skardinės tūris 250π cm³. Kokio aukščio h (cm) turi būti skardinė, kad jai pagaminti reikėtų mažiausiai skardos (mažiausias viso paviršiaus plotas)?

Užuomina

Iš tūrio πr²h = 250π išreikšk h per r ir įstatyk į S = 2πr² + 2πrh. Ieškok S(r) minimumo.

Sprendimas

h = 250 / r²

S(r) = 2πr² + 2πr·250/r² = 2πr² + 500π/r

S′(r) = 4πr − 500π/r² = 0 ⇒ r³ = 125 ⇒ r = 5

r < 5: S′ < 0; r > 5: S′ > 0 ⇒ minimumas

h = 250 / 25 = 10 cm

aukštis = skersmuo