7 skyrius · 12 klasė

Didžiausia ir mažiausia reikšmė

Kaip iš visų galimų variantų išrinkti geriausią: didžiausią plotą, mažiausiai medžiagos, pigiausią kelią. Išmoksime vieną patikimą receptą ir pritaikysime jį tvorai, dėžutei, skardinei ir kabeliui.

Iš kartono lapo kampų iškirpti kvadratai, kraštai užlenkti į atvirą dėžutę
Įsimink: iškirpk kampus per mažai – dėžutė plokščia, per daug – siaura kaip kaminas. Kažkur per vidurį talpa didžiausia, ir išvestinė parodo, kur tiksliai.

Kam to reikia?

Geriausias pasirinkimas

Gyvenime nuolat ieškome „geriausio“: didžiausio ploto iš tos pačios tvoros, mažiausio kiekio skardos konservų dėžutei, mažiausių kelionės išlaidų, didžiausio parduotuvės pelno. Galima spėlioti ir tikrinti dešimtis variantų – bet išvestinė duoda tikslų atsakymą per kelias eilutes.

Mintis paprasta, ją jau matėme 6 skyriuje: kalno viršūnėje ir duobės dugne liestinė guli horizontaliai, t. y. f′(x) = 0. Bet yra viena gudrybė. Kai x gali būti tik tam tikrose ribose (tvoros ilgis baigtinis, lapas tik 30 cm), didžiausia reikšmė kartais būna ne viršūnėje, o pačiame krašte. Todėl reikia tikrinti ir kraštus.

Palyginimas: eini kalnų taku nuo vieno namelio iki kito. Kur buvai aukščiausiai? Arba ant kurios nors kalvos viršūnės, arba prie kurio nors namelio (jei takas visą laiką kilo). Kitur būti negalėjo – jei vietoje takas dar kyla, vadinasi, šiek tiek toliau buvai dar aukščiau.

AReikšmės atkarpoje [a; b]

Turime funkciją f(x) ir atkarpą [a; b] (galai įeina). Jei funkcija ištisinė (grafikas be trūkių), tai atkarpoje ji būtinai turi ir didžiausią, ir mažiausią reikšmę. Kur jų ieškoti? Tik dviejose vietose:

Tai ir yra visas receptas: surašome šiuos „kandidatus“, apskaičiuojame f kiekviename ir išrenkame didžiausią bei mažiausią skaičių. Ženklų lentelės čia net nereikia!

  1. Rask f′(x) ir išspręsk f′(x) = 0.
  2. Palik tik tuos sprendinius, kurie yra atkarpos viduje. Kitus išbrauk.
  3. Apskaičiuok f reikšmes likusiuose taškuose ir abiejuose galuose.
  4. Didžiausias skaičius – didžiausia reikšmė, mažiausias – mažiausia.
Funkcija f(x) = x³ − 3x. Ryškiai mėlyna – tik pasirinkta atkarpa. Žalias taškas – didžiausia reikšmė, raudonas – mažiausia, pilki – kiti kandidatai. Pabandyk a = −2,5, b = 2,5: didžiausia reikšmė „pabėga“ į galą, nors viduje yra kalnelis.

1 pavyzdys. f(x) = x³ − 3x atkarpoje [0; 2]

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) = 0 → x = 1 arba x = −1
x = −1 ∉ [0; 2] – išbraukiame; x = 1 ∈ [0; 2] – paliekame
Kandidatasx = 0 (galas)x = 1 (kritinis)x = 2 (galas)
f(x)0−22

Atsakymas: didžiausia reikšmė 2 (kai x = 2), mažiausia −2 (kai x = 1). Pastebėk: didžiausia reikšmė yra gale, ne viršūnėje.

2 pavyzdys. Ta pati funkcija atkarpoje [−3; 3]

Dabar abu kritiniai taškai x = −1 ir x = 1 yra viduje, todėl kandidatų keturi.

x−3−113
f(x)−182−218
f(−3) = −27 + 9 = −18; f(−1) = −1 + 3 = 2;
f(1) = 1 − 3 = −2; f(3) = 27 − 9 = 18

Atsakymas: didžiausia reikšmė 18, mažiausia −18. Viršūnė x = −1 (vietinis maksimumas 2) čia ne didžiausia reikšmė – galas x = 3 aukščiau. Vietinis maksimumas ≠ didžiausia reikšmė!

3 pavyzdys. f(x) = x + 1/x atkarpoje [1/2; 3]

f′(x) = 1 − 1/x² = 0 → x² = 1 → x = 1 arba x = −1
x = −1 ∉ [1/2; 3]; x = 1 ∈ [1/2; 3]
f(1/2) = 1/2 + 2 = 2,5; f(1) = 1 + 1 = 2;
f(3) = 3 + 1/3 = 10/3 ≈ 3,33

Atsakymas: didžiausia reikšmė 10/3 (kai x = 3), mažiausia 2 (kai x = 1). Trupmenas geriau palikti tikslias: 10/3, o ne 3,33.

BGyvenimiški (tekstiniai) uždaviniai

Tekstiniame uždavinyje funkcijos niekas neduoda – ją reikia susikurti pačiam. Tai sunkiausia vieta, todėl visada eik tais pačiais šešiais žingsniais:

  1. Pažymėk kintamąjį. Ką galime keisti? Tą dydį pavadink x (ir parašyk, kokiais vienetais).
  2. Užrašyk funkciją. Ką reikia padaryti didžiausią ar mažiausią? Išreikšk tai vien per x (kitus dydžius išreikšk iš sąlygos).
  3. Sritis. Kokie x galimi? Ilgis teigiamas, kirpti daugiau nei pusę lapo negalima ir pan.
  4. Išvestinė. Rask ją ir išspręsk f′(x) = 0.
  5. Tikrink. Ar tai tikrai maksimumas (minimumas)? Ženklų lentelė arba galų reikšmės.
  6. Atsakyk į tai, ko klausė: ne „x = 5“, o „kvadratas 5 × 5 m, plotas 25 m²“.

B1. Tvora 20 m – didžiausias daržas

Šią istoriją jau matei pagrindiniame puslapyje (3 istorija apie tėčio daržą). Dabar – tvarkingai, šešiais žingsniais.

1) x – daržo plotis (m); ilgis 10 − x, nes 2x + 2(10 − x) = 20
2) S(x) = x(10 − x) = 10x − x²
3) 0 < x < 10
4) S′(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5
5) S′ > 0, kai x < 5; S′ < 0, kai x > 5 → maksimumas
6) kvadratas 5 × 5 m, S = 25 m²

B2. Tvora palei upę (tik trys kraštinės)

Ūkininkas turi 60 m tvoros ir aptveria stačiakampę ganyklą prie upės. Prie upės tvoros nereikia. Kokių matmenų ganykla didžiausia?

1) x – kraštinė, statmena upei (m); tokių dvi, likusi kraštinė 60 − 2x
2) S(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3) 0 < x < 30
4) S′(x) = 60 − 4x = 0 → x = 15
5) S′ keičia ženklą iš + į − → maksimumas
6) 15 m × 30 m (30 m – palei upę), S = 450 m²

Įdomu: čia geriausia ne kvadratas. Upė „atstoja“ vieną kraštinę, todėl kraštinė palei upę dvigubai ilgesnė.

B3 · interaktyvuAtvira dėžutė iš 30 × 30 cm lapo

Iš kvadratinio 30 × 30 cm kartono lapo kampų iškerpame po vienodą kvadratėlį, kurio kraštinė x, ir užlenkiame kraštus. Gaunasi dėžutė be dangčio. Koks turi būti x, kad dėžutės tūris būtų didžiausias?

Viršuje – lapas: raudoni kampai išmetami, žali kraštai užlenkiami į sieneles, mėlynas vidurys – dugnas. Apačioje – tūrio grafikas ir raudona liestinė. Kai liestinė tampa horizontali, tūris didžiausias.

1) x – iškirpto kvadrato kraštinė (cm) = dėžutės aukštis
dugnas: (30 − 2x) × (30 − 2x)
2) V(x) = x(30 − 2x)²
3) 0 < x < 15
4) V′(x) = (30 − 2x)² + x · 2(30 − 2x) · (−2) = (30 − 2x)(30 − 2x − 4x)
= (30 − 2x)(30 − 6x) = 0 → x = 15 arba x = 5
x = 15 ∉ (0; 15) – išbraukiame (tada dugno nėra)
5) V′ > 0, kai 0 < x < 5; V′ < 0, kai 5 < x < 15 → maksimumas
6) x = 5 cm; dėžutė 20 × 20 × 5 cm, V = 2000 cm³ = 2 l

Sandaugos išvestinė (4 skyrius) čia labai praverčia: iškelk bendrą daugiklį (30 − 2x).

B4. Litro skardinė su mažiausiai skardos (12 kl. / VBE)

Reikia pagaminti uždarą cilindro formos skardinę, kurios tūris 1 l = 1000 cm³. Kokio spindulio r ir aukščio h ji turi būti, kad skardos (paviršiaus ploto) reikėtų mažiausiai?

1) r – pagrindo spindulys (cm), h – aukštis (cm)
tūris: πr²h = 1000 → h = 1000/(πr²)
2) S = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2πr · 1000/(πr²) = 2πr² + 2000/r
3) r > 0
4) S′(r) = 4πr − 2000/r² = 0 → 4πr³ = 2000 → r³ = 500/π
r = ∛(500/π) ≈ 5,42 cm
5) kai r mažas, S′ < 0; kai r didelis, S′ > 0 → minimumas
h = 1000/(πr²) = 2r ≈ 10,84 cm (nes πr³ = 500 → 1000/(πr²) = 2r)
6) r ≈ 5,42 cm, h ≈ 10,84 cm, S = 6πr² ≈ 553,6 cm²
S(r) = 2πr² + 2000/r. Kai r mažas, skardinė plona ir aukšta (labai daug šono), kai r didelis – plokščia kaip lėkštė (didžiuliai dugnai). Žemiausias taškas – ties r ≈ 5,42.

Gražus rezultatas: geriausios skardinės aukštis lygus skersmeniui (h = 2r) – iš šono ji atrodo kaip kvadratas. Parduotuvėje skardinės dažnai aukštesnės dėl kitų priežasčių (patogu laikyti, gražiau atrodo).

B5. Skaičių suma 10 – didžiausia sandauga

Skaičių 10 išskaidyk į du dėmenis taip, kad jų sandauga būtų didžiausia.

1) x – pirmas dėmuo, antras 10 − x
2) P(x) = x(10 − x) = 10x − x²
4) P′(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5
6) 10 = 5 + 5, didžiausia sandauga 25

Pastebėjai? Tai ta pati funkcija kaip daržo uždavinyje B1. Skirtingos istorijos, bet matematika viena – todėl ir verta mokėti receptą, o ne atsakymus.

B6 (papildomai). Pigiausias kabelis per upę

Elektrinė stovi ant pietinio upės kranto. Gamykla – ant šiaurinio kranto, 1000 m pasroviui. Upės plotis 300 m. Kabelio metras po vandeniu kainuoja 5 €, sausuma – 3 €. Kabelis eina po vandeniu įstrižai iki taško šiauriniame krante, o toliau – krantu iki gamyklos. Kur išlipti į krantą?

1) p – kiek metrų pasroviui kabelis išlipa į krantą (0 ≤ p ≤ 1000)
po vandeniu: √(300² + p²) m, sausuma: 1000 − p m
2) C(p) = 5√(90000 + p²) + 3(1000 − p)
4) C′(p) = 5p/√(90000 + p²) − 3 = 0 → 5p = 3√(90000 + p²)
25p² = 9(90000 + p²) → 16p² = 810000 → p = 225
5) galai: C(0) = 1500 + 3000 = 4500, C(1000) = 5√1090000 ≈ 5220,2
C(225) = 5 · 375 + 3 · 775 = 1875 + 2325 = 4200
6) išlipti 225 m pasroviui, kaina 4200 €

Tiesiai skersai upės (p = 0) – 4500 €, visą kelią po vandeniu (p = 1000) – apie 5220 €. Išvestinė rado vidurio variantą, pigesnį už abu.

Dažniausios klaidos

Pamiršti galai. Atkarpoje didžiausia reikšmė dažnai būna gale (1 ir 2 pavyzdžiai). Visada apskaičiuok f(a) ir f(b).
Paliktas taškas už atkarpos. Jei f′(x) = 0 sprendinys nepriklauso [a; b], jo reikšmės skaičiuoti nereikia – jis „ne mūsų“.
Funkcija su dviem kintamaisiais. S = x · y išvestinės nerasi. Pirma išreikšk y per x iš sąlygos (tvoros ilgio, tūrio).
Atsakyta ne į klausimą. Klausė matmenų ar ploto, o parašyta tik „x = 5“. Perskaityk klausimą dar kartą.
Neįvertinta sritis. Dėžutei x = 15 netinka (nėra dugno), ilgis negali būti neigiamas.
Trumpai – ką reikia žinoti

Pasitikrink

7.1

Rask funkcijos f(x) = x² − 4x + 1 didžiausią reikšmę atkarpoje [0; 5].

Užuomina

f′(x) = 2x − 4. Kandidatai: kritinis taškas ir abu galai.

Sprendimas
f′(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2 ∈ [0; 5]
f(0) = 1, f(2) = −3, f(5) = 25 − 20 + 1 = 6
didžiausia reikšmė 6 (gale x = 5)
7.2

Rask funkcijos f(x) = 2x³ − 3x² − 12x mažiausią reikšmę atkarpoje [0; 3].

Užuomina

f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x − 2)(x + 1). Kuris sprendinys priklauso atkarpai?

Sprendimas
f′(x) = 6(x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 (x = −1 ∉ [0; 3])
f(0) = 0, f(2) = 16 − 12 − 24 = −20, f(3) = 54 − 27 − 36 = −9
mažiausia reikšmė −20
7.3

Funkcija f(x) = x³ − 3x², atkarpa [−1; 4]. Įvesk didžiausią ir mažiausią reikšmes per kabliataškį.

Užuomina

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Kandidatai: −1, 0, 2, 4.

Sprendimas
f(−1) = −1 − 3 = −4, f(0) = 0, f(2) = 8 − 12 = −4, f(4) = 64 − 48 = 16
didžiausia 16, mažiausia −4 (pasiekiama net dviejuose taškuose)
7.4

Stačiakampio sklypo plotas 100 m². Koks mažiausias gali būti jo perimetras (m)?

Užuomina

Jei viena kraštinė x, kita 100/x. P(x) = 2x + 200/x, x > 0.

Sprendimas
P′(x) = 2 − 200/x² = 0 → x² = 100 → x = 10
P′ < 0, kai x < 10, P′ > 0, kai x > 10 → minimumas
P(10) = 20 + 20 = 40 m (vėl kvadratas 10 × 10)
7.5

Dviejų teigiamų skaičių suma 12. Kokia didžiausia gali būti pirmojo skaičiaus ir antrojo kvadrato sandauga x · y²?

Užuomina

x = 12 − y, taigi P(y) = (12 − y)y² = 12y² − y³, 0 < y < 12.

Sprendimas
P′(y) = 24y − 3y² = 3y(8 − y) = 0 → y = 8 (y = 0 netinka)
P′ > 0, kai 0 < y < 8, P′ < 0, kai y > 8 → maksimumas
x = 4, P = 4 · 64 = 256

Mokymosi puslapis. Klaidą ar neaiškumą pastebėjai – pasakyk tėčiui.