8 skyrius · 12 klasė / VBE

Greitis, pagreitis, antroji išvestinė

Išvestinę galima imti dar kartą – tada gauname antrąją išvestinę. Fizikoje tai pagreitis, o grafike – atsakymas į klausimą, kur kreivė „laiko vandenį“ kaip puodelis, o kur „nuleidžia“ kaip kupolas.

Kylanti raketa
Įsimink: raketos aukštis keičiasi – tai greitis; greitis irgi keičiasi – tai pagreitis. Pagreitis yra išvestinės išvestinė.

Kam to reikia?

Fizika: kelias → greitis → pagreitis

Jei žinome, kur daiktas yra kiekvieną akimirką – s(t) – tai išvestinė pasako jo greitį: v(t) = s′(t). O greičio išvestinė pasako, kaip greitai keičiasi pats greitis, t. y. pagreitį: a(t) = v′(t) = s″(t).

Vairuotojas spaudžia stabdžius – greitis mažėja, pagreitis neigiamas. Lėktuvas kyla – keleivius spaudžia į kėdes, nes pagreitis didelis. Kamuolys skrenda aukštyn – jis vis lėtėja, nes Žemė traukia žemyn su pagreičiu apie 10 m/s². Visa tai – antroji išvestinė.

DydisFormulėKą sakoVienetai
kelias (padėtis)s(t)kur daiktas yram
greitisv(t) = s′(t)kaip greitai keičiasi padėtism/s
pagreitisa(t) = v′(t) = s″(t)kaip greitai keičiasi greitism/s²

1 pavyzdys. Stabdantis automobilis

Pradėjęs stabdyti, automobilis per t sekundžių nuvažiuoja s(t) = 20t − 2t² metrų. Kada jis sustos ir koks stabdymo kelias?

v(t) = s′(t) = 20 − 4t (pradžioje v(0) = 20 m/s = 72 km/h)
a(t) = v′(t) = −4 m/s² (minusas – greitis mažėja)
sustoja, kai v = 0: 20 − 4t = 0 → t = 5 s
stabdymo kelias: s(5) = 100 − 50 = 50 m

Štai kodėl kelių eismo taisyklėse tiek dėmesio greičiui: stabdymo kelias auga su greičio kvadratu.

Kamuolys, mestas aukštyn

Kamuolį metame tiesiai aukštyn 20 m/s greičiu. Jo aukštis po t sekundžių h(t) = 20t − 5t² metrų. Klausimai: kada jis aukščiausiai? Kokiu greičiu jis nukris ant žemės?

Greičio grafikas v(t) = 20 − 10t – tiesė. Jos polinkis −10 ir yra pagreitis: a = v′(t) = −10 m/s², visą laiką vienodas. Kairėje žalia rodyklė – greitis, raudona – pagreitis.
v(t) = h′(t) = 20 − 10t, a(t) = h″(t) = −10
aukščiausiai, kai v = 0: 20 − 10t = 0 → t = 2 s, h(2) = 40 − 20 = 20 m
nukrinta, kai h = 0: 5t(4 − t) = 0 → t = 4 s
v(4) = 20 − 40 = −20 m/s (minusas – juda žemyn, greičio didumas 20 m/s)

Viršuje kamuolys akimirkai sustoja (v = 0), bet pagreitis ten vis tiek −10 – todėl jis neužstringa ore, o pradeda kristi. Ir nukrenta tokiu pat greičiu, kokiu buvo išmestas, tik priešinga kryptimi.

Antroji išvestinė – kas tai?

Antroji išvestinė – tai išvestinės išvestinė: f″(x) = (f′(x))′. Jokių naujų taisyklių – tiesiog skaičiuojame išvestinę du kartus iš eilės.

2 pavyzdys. Rask f″(x)

f(x) = x³ − 3x² + 2 → f′(x) = 3x² − 6x → f″(x) = 6x − 6
f(x) = x⁴ → f′(x) = 4x³ → f″(x) = 12x²
f(x) = sin x → f′(x) = cos x → f″(x) = −sin x
f(x) = e^(2x) → f′(x) = 2e^(2x) → f″(x) = 4e^(2x)

Ką ji reiškia grafikui? f′ sako, ar grafikas kyla, ar leidžiasi. O f″ sako, ar polinkis didėja, ar mažėja – t. y. į kurią pusę grafikas lenkiasi.

IškilumasPuodelis ir kupolas

  • f″(x) > 0 → polinkis didėja → kreivė lenkiasi kaip puodelis ∪, kuris laiko vandenį. Sakome: funkcija iškila žemyn. Liestinė yra po kreive.
  • f″(x) < 0 → polinkis mažėja → kreivė lenkiasi kaip kupolas ∩, vanduo nuteka. Funkcija iškila aukštyn. Liestinė yra virš kreivės.
  • Taškas, kuriame f″ keičia ženklą (puodelis virsta kupolu arba atvirkščiai), vadinamas perlinkio tašku. Ten liestinė kerta kreivę – pereina iš vienos pusės į kitą.
Funkcija f(x) = x³ − 3x² + 2, f″(x) = 6x − 6. Taškas žalias, kai f″ > 0 (puodelis), raudonas, kai f″ < 0 (kupolas). Stebėk liestinę: kairėje ji virš kreivės, dešinėje – po kreive, o ties x = 1 ją kerta.

3 pavyzdys. Perlinkio taškai funkcijos f(x) = x⁴ − 6x²

f′(x) = 4x³ − 12x, f″(x) = 12x² − 12 = 12(x − 1)(x + 1)
f″(x) = 0 → x = −1 arba x = 1
ženklai: f″ > 0, kai x < −1; f″ < 0, kai −1 < x < 1;
f″ > 0, kai x > 1
ženklas keičiasi abiejuose taškuose; f(−1) = f(1) = 1 − 6 = −5
perlinkio taškai (−1; −5) ir (1; −5)

Iškila žemyn intervaluose (−∞; −1) ir (1; +∞), iškila aukštyn intervale (−1; 1).

Antrosios išvestinės testasMaksimumas ar minimumas – be ženklų lentelės

Jei f′(x₀) = 0 (liestinė horizontali), užtenka pažiūrėti į f″(x₀):

  • f″(x₀) > 0 → puodelis → dugne minimumas;
  • f″(x₀) < 0 → kupolas → viršūnėje maksimumas;
  • f″(x₀) = 0 → testas nieko nepasako, grįžk prie ženklų lentelės (6 skyrius).
f(x) = x³ − 3x² + 2: f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 → x = 0, x = 2
f″(0) = −6 < 0 → maksimumas, f(0) = 2
f″(2) = 6 > 0 → minimumas, f(2) = 8 − 12 + 2 = −2

VBE tipo uždavinys: visas funkcijos tyrimas

Sąlyga

Duota funkcija f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.
a) Raskite f′(x). b) Raskite didėjimo ir mažėjimo intervalus bei ekstremumus. c) Raskite perlinkio tašką. d) Parašykite liestinės perlinkio taške lygtį. e) Nurodykite iškilumo intervalus.

Sprendimas

a) f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)
b) f′ = 0 → x = 1, x = 3
f′ > 0 intervaluose (−∞; 1) ir (3; +∞) → didėja;
f′ < 0 intervale (1; 3) → mažėja
x = 1: maksimumas, f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
x = 3: minimumas, f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
c) f″(x) = 6x − 12 = 0 → x = 2; ženklas keičiasi iš − į +
f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3 → perlinkio taškas (2; 3)
d) f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3
y = f(2) + f′(2)(x − 2) = 3 − 3(x − 2) → y = −3x + 9
e) f″ < 0, kai x < 2 → iškila aukštyn intervale (−∞; 2);
f″ > 0, kai x > 2 → iškila žemyn intervale (2; +∞)
Viskas viename paveiksle: maksimumas (1; 5), minimumas (3; 1), perlinkio taškas (2; 3) ir liestinė y = −3x + 9, kuri ten kerta kreivę. Perlinkio taškas – lygiai per vidurį tarp ekstremumų (kubinei funkcijai taip būna visada).

Dažniausios klaidos

f″ = 0 dar ne perlinkis. f(x) = x⁴: f″(0) = 0, bet f″ = 12x² ženklo nekeičia → perlinkio taško nėra. Visada tikrink ženklų kaitą.
Painiojami žodžiai. f″ > 0 – iškila žemyn (puodelis ∪), f″ < 0 – iškila aukštyn (kupolas ∩). Prisimink: puodelio dugnas – minimumas.
Greitis su ženklu. v = −20 m/s reiškia „20 m/s žemyn“. Jei klausia greičio didumo – atsakyk 20 m/s.
Perlinkio taškas – tai taškas. Atsakyme reikia abiejų koordinačių: (2; 3), ne tik x = 2.
Trumpai – ką reikia žinoti

Pasitikrink

8.1

Taškas juda pagal dėsnį s(t) = t³ − 2t² + 3t (m). Koks jo greitis (m/s), kai t = 2 s?

Užuomina

v(t) = s′(t). Rask išvestinę ir įstatyk t = 2.

Sprendimas
v(t) = 3t² − 4t + 3
v(2) = 12 − 8 + 3 = 7 m/s
8.2

To paties taško pagreitis (m/s²), kai t = 2 s?

Užuomina

a(t) = v′(t) = s″(t).

Sprendimas
a(t) = 6t − 4
a(2) = 12 − 4 = 8 m/s²
8.3

Rask f″(x), kai f(x) = x³ + 2x² − 5x.

Užuomina

Pirma f′(x) = 3x² + 4x − 5, tada dar kartą išvestinė.

Sprendimas
f′(x) = 3x² + 4x − 5
f″(x) = 6x + 4
8.4

Rask funkcijos f(x) = x⁴ − 6x² + x perlinkio taškų abscises (x reikšmes, per kabliataškį).

Užuomina

Narys x antrosios išvestinės nepakeičia. f″(x) = 12x² − 12.

Sprendimas
f′(x) = 4x³ − 12x + 1, f″(x) = 12x² − 12 = 12(x − 1)(x + 1)
f″ keičia ženklą ties x = −1 ir x = 1
8.5

Akmuo mestas aukštyn, jo aukštis h(t) = 25t − 5t² (m). Kokį didžiausią aukštį (m) jis pasieks?

Užuomina

Aukščiausiai akmuo yra tada, kai jo greitis v(t) = h′(t) = 0.

Sprendimas
v(t) = 25 − 10t = 0 → t = 2,5 s
h(2,5) = 62,5 − 31,25 = 31,25 m

Ką jau moki

Sveikiname – praėjai visą kelią nuo „kas tas greitis?“ iki antrosios išvestinės. Štai ką dabar moki, skyrius po skyriaus. Jei kuri vieta dar neaiški – grįžk ir patempk slankiklius dar kartą.

1 skyriusKitimo greitis ir polinkisTiesės polinkis k ir vidutinis greitis: kelias ÷ laikas. 2 skyriusNuo kirstinės iki liestinėsKai h → 0, kirstinė virsta liestine; išvestinė – jos polinkis. 3 skyriusFormulės ir taisyklės(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, sin, cos, eˣ, ln x, suma ir konstanta. 4 skyriusSandauga, dalmuo, sudėtinė(uv)′, (u/v)′ ir „lėlių“ taisyklė sudėtinei funkcijai. 5 skyriusLiestinės lygtisy = f(a) + f′(a)(x − a) – liestinė bet kuriame taške. 6 skyriusDidėjimas ir ekstremumaif′ ženklų lentelė: kur kyla, kur leidžiasi, kur viršūnės. 7 skyriusDidžiausia ir mažiausia reikšmėKritiniai taškai + galai; tvora, dėžutė, skardinė. 8 skyriusAntroji išvestinėGreitis ir pagreitis, iškilumas, perlinkio taškai. ★ – ★★★★★Uždaviniai pagal lygiusDabar laikas pasitikrinti viską kartu – nuo lengviausių iki VBE.

Mokymosi puslapis. Klaidą ar neaiškumą pastebėjai – pasakyk tėčiui.