2 skyrius · 11 klasė

Nuo kirstinės iki liestinės

Pirmame skyriuje mokėjome rasti tik vidutinį greitį – tarp dviejų taškų. Dabar išmoksime rasti greitį viename taške. Tam reikės padidinamojo stiklo, vis mažėjančio skaičiaus h ir vienos svarbios sąvokos – išvestinės.

Įsimink: pro padidinamąjį stiklą lygi kreivė atrodo kaip tiesė. Tos tiesės polinkis ir yra kreivės polinkis tame taške.

1KAM to reikia? Greitis „dabar“

Spidometras rodo ne vidutinį greitį per valandą, o greitį šią akimirką. Bet kaip jį suskaičiuoti? Vidutiniam greičiui reikia dviejų laiko momentų: (f(b) − f(a)) / (b − a). Jei paimsime tą patį momentą du kartus (b = a), gausime 0 / 0 – tokio skaičiaus nėra.

Gudrybė

Imkime ne lygiai tą patį momentą, o labai artimą: a ir a + h, kur h – mažas skaičius (0,1; 0,01; 0,001…). Skaičiuojame vidutinį greitį ir žiūrime, prie kokio skaičiaus jis artėja, kai h vis mažėja. Tas skaičius ir bus greitis „dabar“.

Geometriškai tai tas pats, kas priartinti kreivę padidinamuoju stiklu: kuo labiau priartini, tuo mažesnį jos gabalą matai, ir tuo tiesesnis jis atrodo.

2Priartinkime: kreivė virsta tiese

Žiūrėkime į parabolę y = x² prie taško (1; 1). Didink padidinimą:

Padidinimas: ×1

Mėlyna – y = x², raudona brūkšninė – tiesė y = 2x − 1. Atkreipk dėmesį į skaičius ant ašių: kiekvieną kartą matome vis mažesnį gabalėlį.

Esant ×1, parabolė aiškiai lenkta. Esant ×10, jos gabalas tarp 0,8 ir 1,2 jau beveik tiesus. Esant ×50 kreivės nuo tiesės nebeatskirsi. Ta tiesė vadinama liestine, o jos polinkis (čia 2) – kreivės polinkis taške x = 1.

Liestinė – tiesė, kuria kreivė „virsta“, kai ją labai priartini.

3Kirstinė sukasi ir tampa liestine

Kaip rasti tą polinkį skaičiais, o ne akimis? Paimkime du kreivės taškus: A(a; f(a)) ir šalia jo B(a + h; f(a + h)). Per juos eina kirstinė, jos polinkis (1 skyrius):

kirstinės polinkis = (f(a + h) − f(a)) / ((a + h) − a) = (f(a + h) − f(a)) / h

Dabar mažinkime h. Taškas B slenka kreive link A, o kirstinė sukasi aplink A. Kai h beveik 0, kirstinė beveik sutampa su liestine. Skaičiais – funkcijai f(x) = x² taške a = 1:

h	f(1 + h) − f(1)	Kirstinės polinkis
1	2² − 1 = 3	3 / 1 = 3
0,5	1,5² − 1 = 1,25	1,25 / 0,5 = 2,5
0,1	1,1² − 1 = 0,21	0,21 / 0,1 = 2,1
0,01	1,01² − 1 = 0,0201	0,0201 / 0,01 = 2,01
−0,1	0,9² − 1 = −0,19	−0,19 / (−0,1) = 1,9
−0,01	0,99² − 1 = −0,0199	−0,0199 / (−0,01) = 1,99
h → 0	→ 0	→ 2 ← polinkis taške

Ir iš dešinės (h > 0), ir iš kairės (h < 0) skaičiai artėja prie 2. Sakome: riba lygi 2 ir rašome lim_h→0 („limes“ – lotyniškai „riba“). Svarbu: h niekada nėra lygus 0 – jis tik be galo artėja prie 0.

Kad nereikėtų kaskart pildyti lentelės, naudojame algebrą: pirmiausia suprastiname, tik tada įstatome h = 0.

((1 + h)² − 1) / h = (1 + 2h + h² − 1) / h = (2h + h²) / h = 2 + h

kai h → 0: 2 + h → 2

Dabar pažiūrėk tą patį su kita kreive f(x) = x³ − 3x: pasirink tašką a ir tempk h iki 0.

Taškas a = 1,5

Tarpas h = 0,5

Mėlyna – y = x³ − 3x, žalia – kirstinė per A ir B, raudona – liestinė taške A. Kai h = 0, kirstinė susilieja su liestine.

4Išvestinės apibrėžimas

Tai, ką ką tik darėme, turi vardą. Funkcijos f išvestinė taške a – tai kirstinės polinkio riba, kai h artėja prie 0:

f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a)) / h

Geometriškai f′(a) – liestinės polinkis taške a (kokia stati kreivė ten).
Fizikiškai f′(a) – kitimo greitis akimirką a (ką rodo spidometras).
Skaitiklis f(a + h) − f(a) vadinamas funkcijos pokyčiu Δf (arba Δy), o h – argumento pokyčiu Δx. Todėl dar rašoma f′(x) = lim_Δx→0 Δy/Δx.

Žymėjimai. Jei skaičiuojame ne viename taške, o bet kuriame x, gauname naują funkciją f′(x) (skaitoma „f štrichas nuo x“). Kiti užrašai, kuriuos gali sutikti: y′ (kai funkcija užrašyta y = …) ir dy/dx (Leibnizo užrašas: „labai mažas y pokytis per labai mažą x pokytį“). Visi trys reiškia tą patį.

f′(a) – skaičius (polinkis viename taške). f′(x) – funkcija (polinkis visuose taškuose).

5Skaičiuojame pagal apibrėžimą

Visada tas pats receptas iš keturių žingsnių:

Užrašyk f(x + h) – visur vietoj x įrašyk (x + h) skliaustuose.
Apskaičiuok skirtumą f(x + h) − f(x) ir suprastink.
Padalyk iš h (h turi susiprastinti!).
Įstatyk h = 0.

1 pavyzdys · tiesė f(x) = kx + b

f(x + h) − f(x) = k(x + h) + b − kx − b = kh

kh / h = k

f′(x) = k tiesės polinkis visur tas pats!

Pavyzdžiui, (5x − 7)′ = 5. O konstanta f(x) = c (k = 0): c′ = 0 – horizontali tiesė niekur nekyla.

2 pavyzdys · f(x) = x²

f(x + h) − f(x) = (x + h)² − x² = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h²

(2xh + h²) / h = 2x + h

h → 0: f′(x) = 2x

Patikrink su lentele: taške x = 1 polinkis 2 · 1 = 2 ✓. Taške x = 3 parabolė jau tris kartus statesnė: 2 · 3 = 6.

3 pavyzdys · f(x) = x³

(x + h)³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³

f(x + h) − f(x) = 3x²h + 3xh² + h³

(3x²h + 3xh² + h³) / h = 3x² + 3xh + h²

h → 0: f′(x) = 3x²

4 pavyzdys · f(x) = 1/x

f(x + h) − f(x) = 1/(x + h) − 1/x = (x − (x + h)) / (x(x + h)) = −h / (x(x + h))

dalome iš h: −1 / (x(x + h))

h → 0: f′(x) = −1/x² (x ≠ 0)

Minusas sako, kad hiperbolė y = 1/x visur leidžiasi. Pavyzdžiui, f′(2) = −1/4.

5 pavyzdys · suma f(x) = x² + 3x

f(x + h) − f(x) = (x + h)² + 3(x + h) − x² − 3x = 2xh + h² + 3h

(2xh + h² + 3h) / h = 2x + h + 3

h → 0: f′(x) = 2x + 3

Pastebėk: tai tiesiog (x²)′ + (3x)′ = 2x + 3. Tai ne atsitiktinumas – 3 skyriuje tai taps taisykle.

Surašykime rezultatus. Ar matai dėsningumą?

f(x)	c	x	x²	x³	1/x = x⁻¹
f′(x)	0	1	2x	3x²	−1/x² = −1 · x⁻²

Laipsnio rodiklis „nusileidžia“ į priekį, o pats rodiklis sumažėja vienetu: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Tai pagrindinė 3 skyriaus formulė.

6Išvestinės mašina

Berniukas suka mašiną: į piltuvą įeina banguota kreivė, išeina strėlė — **Įsimink:** į išvestinės mašiną įmeti funkciją f – išeina nauja funkcija f′, kuri kiekviename taške pasako, kokia stati buvo f.

Išvestinė – tai lyg mašina: įdedi funkciją f, gauni funkciją f′. Grafike: kiekviename taške a išmatuojame f liestinės polinkį ir nupiešiame jį kaip aukštį apatiniame grafike. Tempk a ir stebėk ryšį:

Taškas a = −1,5

Viršuje f(x) = x³ − 3x ir liestinė, apačioje f′(x) = 3x² − 3. Kur f kyla, ten f′ virš ašies; kur f leidžiasi – f′ po ašimi; viršūnėse (a = ±1) f′ = 0.

Kodėl f′(x) = 3x² − 3? Pagal 3 pavyzdį (x³)′ = 3x², o pagal 1 pavyzdį (−3x)′ = −3. Sudėję gauname 3x² − 3.

7Kur išvestinės nėra?

Ne kiekviena kreivė po padidinamuoju stiklu tampa tiese. Funkcijos f(x) = |x| grafikas – raidė V su kampu taške 0. Kiek bepriartintum, kampas lieka kampu.

h > 0: (|0 + h| − |0|) / h = h / h = 1

h < 0: (|0 + h| − |0|) / h = −h / h = −1

Iš dešinės polinkis 1, iš kairės −1 – vieno skaičiaus, prie kurio artėtų, nėra. Todėl f′(0) neegzistuoja. Taisyklė paprasta: kur grafikas turi aštrų kampą (arba trūkį), ten išvestinės nėra. Visur kitur |x| išvestinė yra: 1, kai x > 0, ir −1, kai x < 0.

8Dažniausios klaidos

h = 0 įstatytas per anksti. Gausi 0/0. Pirmiausia suprastink, kad h susiprastintų, tik tada h = 0.

(x + h)² ≠ x² + h². Teisingai: x² + 2xh + h². Pamiršus 2xh, dingsta visa išvestinė.

Be skliaustų. f(x + h) funkcijai 3x² yra 3(x + h)², ne 3x² + h.

f′(a) ir f′(x) supainioti. f′(x) = 2x – funkcija; f′(3) = 6 – skaičius.

„Liestinė liečia tik viename taške“. Ne visada: y = x³ − 3x liestinė taške 1,5 kerta kreivę dar kartą. Svarbu, kad prie taško ji glaudžiasi prie kreivės.

Trumpai – ką reikia žinoti

Priartinta lygi kreivė atrodo kaip tiesė – liestinė. Jos polinkis – kreivės polinkis taške.
Kirstinė per (a; f(a)) ir (a + h; f(a + h)) turi polinkį (f(a + h) − f(a))/h. Kai h → 0, ji virsta liestine.
f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h – liestinės polinkis = greitis akimirką.
Pagal apibrėžimą: c′ = 0, (kx + b)′ = k, (x²)′ = 2x, (x³)′ = 3x², (1/x)′ = −1/x².
f′ – nauja funkcija: kur f kyla, f′ > 0; kur leidžiasi, f′ < 0; viršūnėse f′ = 0.
Aštriame kampe (|x| taške 0) išvestinės nėra.

9Pasitikrink

2.1

Funkcija f(x) = x². Apskaičiuok kirstinės polinkį (f(3 + h) − f(3)) / h, kai h = 0,1.

Užuomina

f(3,1) = 3,1² = 9,61.

Sprendimas

(9,61 − 9) / 0,1 = 0,61 / 0,1 = 6,1

2.2

Pagal apibrėžimą rask f′(3), kai f(x) = x².

Užuomina

Suprastink ((3 + h)² − 9)/h ir įstatyk h = 0. Palygink su 2.1 atsakymu.

Sprendimas

((3 + h)² − 9) / h = (6h + h²) / h = 6 + h → 6

2.3

Pagal apibrėžimą rask f′(x), kai f(x) = 2x² − 5x.

Užuomina

2(x + h)² = 2x² + 4xh + 2h².

Sprendimas

f(x + h) − f(x) = 2(x + h)² − 5(x + h) − 2x² + 5x = 4xh + 2h² − 5h

dalome iš h: 4x + 2h − 5

h → 0: f′(x) = 4x − 5

2.4

Funkcija f(x) = 1/x. Koks liestinės polinkis taške x = 2?

Užuomina

Naudok 4 pavyzdžio rezultatą f′(x) = −1/x².

Sprendimas

f′(2) = −1/2² = −1/4

2.5

Ar funkcija f(x) = |x − 2| turi išvestinę taške x = 2? Kodėl?

Užuomina

Nubraižyk grafiką: tai V raidė, pastumta 2 į dešinę.

Sprendimas

h > 0: (|h| − 0) / h = 1

h < 0: (|h| − 0) / h = −1

Ribos iš abiejų pusių skirtingos → f′(2) neegzistuoja.

Mokymosi puslapis. Klaidą ar neaiškumą pastebėjai – pasakyk tėčiui.