Matematika · 166 uždavinys · 5 taškai

Dvi parabolės, dvi liestinės

Uždavinio sąlyga

Parašykite funkcijų y = f(x) = −x² + 9x − 23 ir y = g(x) = x² + 3x − 6 grafikų visų bendrųjų liestinių lygtis.

Sprendimas žingsnis po žingsnio, paprastais žodžiais. Tikslas – ne tik gauti atsakymą, bet ir išmokti spręsti visus panašius uždavinius (162–167). Pradedame nuo trijų lengvų pavyzdžių ir palaipsniui prieiname prie paties uždavinio.

0Ko mes ieškome?

Mėlyna – parabolė f, žalia – parabolė g, raudonos – dvi bendrosios liestinės. Taškai – lietimosi vietos.
Svarbiausia mintis – ją ir įsimink!
  1. Jei tiesė liečia parabolę, jos turi tik vieną bendrą tašką.
  2. Sulyginę tiesę ir parabolę gauname kvadratinę lygtį. Ji turi turėti tik vieną sprendinį.
  3. Kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį tada, kai D = 0.

Dvi parabolės → dvi sąlygos D = 0 → dviejų lygčių sistema su nežinomaisiais k ir b.

Kodėl taip?

Du dažniausi klausimai

Klausimas 1Kodėl sulyginame tiesę ir parabolę ir kodėl sprendinys turi būti vienas?

Kodėl sulyginame. Taške, kuriame tiesė susitinka su parabole, abi linijos turi tą patį x ir tą patį y. Parabolė y = x², tiesė y = 2x + b. Kadangi y tas pats, dešiniąsias puses galime sulyginti:

x² = 2x + b

Šios lygties sprendiniai – tai bendrųjų taškų x koordinatės.

Kodėl lygtis kvadratinė. Perkeliame viską į kairę: x² − 2x − b = 0. Joje yra x², todėl ji kvadratinė ir sprendžiama per diskriminantą D.

Kodėl sprendinys vienas. Kiekvienas sprendinys yra taškas, kuriame tiesė susitinka su parabole:

DSprendiniųKą daro tiesė
D > 02kerta parabolę dviejuose taškuose (pereina kiaurai)
D = 01liečia viename taške – tai ir yra liestinė
D < 00praeina pro šalį, neliesdama
Parabolė y = x² ir tiesė y = 2x + b. Sulyginę gauname x² − 2x − b = 0, jos D = 4 + 4b. Pastumk b iki −1 ir pamatysi, kaip du taškai susilieja į vieną – tiesė tampa liestine.

Liestinė pagal apibrėžimą parabolę tik paliečia, t. y. turi su ja lygiai vieną bendrą tašką. Todėl lygtis turi turėti vieną sprendinį, o tai reiškia D = 0.

Liečia → vienas bendras taškas → vienas sprendinys → D = 0.

Klausimas 2Kodėl kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį būtent tada, kai D = 0?

Tai matyti tiesiai iš šaknų formulės. Lygties Ax² + Bx + C = 0 šaknys:

x = (−B ± √D) / (2A), čia D = B² − 4AC

Svarbiausia čia ženklas ± („plius minus“). Jis reiškia, kad skaičiuojame du kartus: vieną kartą prie −B pridedame √D, kitą kartą atimame.

  • D > 0, pvz., D = 16, √D = 4. Pridėti 4 ir atimti 4 – skirtingi veiksmai, todėl šaknys dvi.
  • D = 0, √D = 0. Pridėti nulį ir atimti nulį – tas pats. Abu skaičiavimai duoda tą patį skaičių, todėl šaknis viena: x = −B / (2A).
  • D < 0, pvz., D = −9. Kvadratinės šaknies iš neigiamo skaičiaus nėra (joks skaičius, pakeltas kvadratu, neduoda −9), todėl šaknų nėra.

Pavyzdys. x² − 6x + 9 = 0, čia A = 1, B = −6, C = 9:

D = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0
x = (6 ± 0) / 2 = 3 ← abu skaičiavimai duoda 3

Šią lygtį galima „suskleisti“ į kvadratą: x² − 6x + 9 = (x − 3)². Kvadratas lygus nuliui tik tada, kai viduje nulis, t. y. kai x = 3. Kitų variantų nėra. D = 0 visada reiškia, kad reiškinys yra pilnas kvadratas (x − a)², o jis lygus nuliui tik viename taške.

Kaip tai atrodo brėžinyje. Lygties šaknys – tai taškai, kuriuose parabolė y = Ax² + Bx + C kerta x ašį. Kai D > 0, parabolė kerta ašį du kartus. Kai D = 0, ji ašį tik paliečia savo viršūne. Kai D < 0, ji ašies visai neliečia.

x² − 6x + 5
D = 36 − 20 = 16 > 0 → dvi šaknys: 1 ir 5
x² − 6x + 9
D = 36 − 36 = 0 → viena šaknis: 3
x² − 6x + 12
D = 36 − 48 = −12 < 0 → šaknų nėra

Visos trys parabolės vienodos, skiriasi tik laisvasis narys C: jis parabolę pakelia arba nuleidžia. Kai C = 9, parabolė nusileidžia lygiai tiek, kad viršūne paliečia ašį.

D yra po šaknimi su ženklu ±. Kai D = 0, „plius“ ir „minus“ duoda tą patį skaičių, todėl ir šaknis viena.

Apšilimas · nuo lengvo prie sunkaus

Laiptai iki 166 uždavinio

Prieš imdamiesi tikrojo uždavinio, užlipkime trimis laipteliais. Kiekvienas prideda po vieną naują dalyką.

A lygisKą reiškia D = 0?

Išspręskime x² − 6x + 9 = 0.

D = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0
x = 6 / 2 = 3 – tik vienas sprendinys

D > 0 – du sprendiniai (tiesė kerta parabolę dviejuose taškuose). D < 0 – nė vieno (tiesė pro šalį). D = 0 – lygiai vienas, tai ir yra lietimasis.

B lygisViena parabolė, polinkis žinomas

Kokia tiesė y = 2x + b liečia parabolę y = x²?

x² = 2x + b
x² − 2x − b = 0
D = (−2)² − 4·1·(−b) = 4 + 4b = 0 → b = −1

Atsakymas: y = 2x − 1. Patikrinimas: x² − 2x + 1 = (x − 1)² – vienas taškas x = 1 ✓

Čia nežinomasis tik vienas (b), todėl užtenka vienos sąlygos D = 0.

C lygisDvi paprastos parabolės

Raskime bendrąsias parabolių y = x² ir y = −x² − 2 liestines. Dabar nežinome nei k, nei b, todėl reikia dviejų sąlygų.

x² = kx + b → x² − kx − b = 0
D₁ = k² + 4b = 0 → 4b = −k²← (1)
−x² − 2 = kx + b → x² + kx + (2 + b) = 0
D₂ = k² − 4(2 + b) = 0 → 4b = k² − 8← (2)
−k² = k² − 8 → k² = 4 → k = 2 arba k = −2
4b = −4 → b = −1

Atsakymas: y = 2x − 1 ir y = −2x − 1.

y = x² (viršuje) ir y = −x² − 2 (apačioje). Abi raudonos tiesės paliečia abi paraboles – viršutinę taškuose (±1; 1), apatinę taškuose (∓1; −3). Tarp parabolių yra tarpas, todėl tiesė gali „prasisprausti“ pro jį dviem kryptimis – liestinės dvi.

Tai jau visas 166 uždavinio receptas! Skiriasi tik tai, kad ten skaičiai didesni ir daugiau skliaustų.

D lygis

Dabar – tikrasis 166 uždavinys

Darome lygiai tą patį, kaip C lygyje: dvi sąlygos D = 0, iš abiejų išreiškiame 4b ir sulyginame.

1Tiesė liečia pirmąją parabolę f

Sulyginame parabolę ir tiesę:

−x² + 9x − 23 = kx + b

Viską perkeliame į kairę pusę ir padauginame iš −1, kad prie x² būtų pliusas:

x² + (k − 9)x + (23 + b) = 0

Diskriminantas D = B² − 4AC. Čia A = 1, B = k − 9, C = 23 + b:

D₁ = (k − 9)² − 4(23 + b) = 0
4b = (k − 9)² − 92← (1)

Iš kur 92? 4 · 23 = 92.

2Tiesė liečia antrąją parabolę g

x² + 3x − 6 = kx + b
x² + (3 − k)x + (−6 − b) = 0
D₂ = (3 − k)² − 4(−6 − b) = (k − 3)² + 24 + 4b = 0
4b = −(k − 3)² − 24← (2)

Atkreipk dėmesį: (3 − k)² = (k − 3)², nes kėlimas kvadratu „suvalgo“ minusą.

3Sulyginame (1) ir (2)

Abiejose lygtyse kairėje yra tas pats 4b, todėl dešiniąsias puses galime sulyginti. Taip b dingsta, lieka tik k.

(k − 9)² − 92 = −(k − 3)² − 24
k² − 18k + 81 − 92 = −(k² − 6k + 9) − 24
k² − 18k − 11 = −k² + 6k − 33
2k² − 24k + 22 = 0| : 2
k² − 12k + 11 = 0

Šaknis randame pagal Vieto teoremą (suma 12, sandauga 11): k = 1 ir k = 11.

Du polinkiai → bendrosios liestinės yra dvi.

Kodėl sulyginimas veikia – brėžinys. Formulė (1) yra tarsi visų parabolės f liestinių sąrašas: kiekvienam polinkiui k ji pasako, koks turi būti b, kad tiesė liestų f. Formulė (2) – toks pat sąrašas parabolei g. Bendroji liestinė turi būti abiejuose sąrašuose. Nubraižę abu sąrašus kaip kreives (horizontaliai k, vertikaliai b), bendrąsias liestines matome kaip kreivių susikirtimo taškus.

Mėlyna kreivė – (1): f liestinės. Žalia kreivė – (2): g liestinės. Jos susikerta dviejuose taškuose: k = 1, b = −7 ir k = 11, b = −22. Tai ir yra dvi bendrosios liestinės.

4Randame b pagal (1) formulę

k = 1: 4b = (1 − 9)² − 92 = 64 − 92 = −28 → b = −7
k = 11: 4b = (11 − 9)² − 92 = 4 − 92 = −88 → b = −22

Gauname dvi tieses: y = x − 7 ir y = 11x − 22.

5Patikrinimas

Per kontrolinį darbą daryk būtinai. Įstatome rastus k ir b į antrąjį diskriminantą – turi gautis 0:

k = 1, b = −7: (1 − 3)² + 24 + 4·(−7) = 4 + 24 − 28 = 0 ✓
k = 11, b = −22: (11 − 3)² + 24 + 4·(−22) = 64 + 24 − 88 = 0 ✓

Lietimosi taškai (įdomumo dėlei):

LiestinėLiečia f taškeLiečia g taške
y = x − 7(4; −3)(−1; −8)
y = 11x − 22(−1; −33)(4; 22)
Atsakymas
y = x − 7y = 11x − 22

Šablonas bet kuriam tokiam uždaviniui

  1. Liestinę užrašai kaip y = kx + b.
  2. Sulygini ją su pirmąja parabole, gauni kvadratinę lygtį ir užrašai D = 0.
  3. Tą patį padarai su antrąja parabole – antra sąlyga D = 0.
  4. Iš abiejų lygčių išreiški 4b (arba b) ir sulygini – gauni lygtį tik su k.
  5. Randi visus k, o pagal juos – b.
  6. Patikrini, ar ir antrasis diskriminantas lygus 0.

Dažniausios klaidos

Ženklai. Perkeliant kx + b į kairę, reikia pakeisti ženklus. Tai pati dažniausia klaida.
Neteisingas C. C – tai visas laisvasis narys kartu su b, pvz., 23 + b, o ne tik 23.
Tik vienas k. Sąlygoje parašyta „visų liestinių“. Šaknų dažniausiai būna dvi.
Nėra sprendinių? Jei 3 žingsnio lygtis sprendinių neturi, bendrųjų liestinių nėra. Tai irgi atsakymas.
Antrasis sprendimo būdas

Kitas būdas: per išvestinę

Idėja: kiekvienai parabolei nubrėžiame liestinę jos pačios taške ir reikalaujame, kad tai būtų ta pati tiesė. Atsakymas gausis tas pats: y = x − 7 ir y = 11x − 22.

0 žingsnisKas yra išvestinė?

Išvestinė f′(a) – tai liestinės polinkis taške a. Tai tas pats k iš lygties y = kx + b.

Įsivaizduok, kad važiuoji dviračiu grafiku. Išvestinė parodo, kaip stačiai kelias toje vietoje kyla ar leidžiasi:

  • f′ > 0 – kelias kyla;
  • f′ < 0 – kelias leidžiasi;
  • f′ = 0 – lygi vieta (parabolės viršūnė).

Parabolėms užtenka trijų taisyklių:

FunkcijaIšvestinėKodėl
x²2xtaisyklę reikia įsiminti
kxktiesės polinkis visur vienodas
skaičius (pvz., −23)0skaičius netraukia nei aukštyn, nei žemyn

Iš jų gaunamas šablonas bet kuriai parabolei: (Ax² + Bx + C)′ = 2Ax + B.

f(x) = −x² + 9x − 23 → f′(x) = −2x + 9
g(x) = x² + 3x − 6 → g′(x) = 2x + 3

1 žingsnisLiestinės formulė

Grafiko liestinė taške a:

y = f′(a)·(x − a) + f(a)
Parabolė y = x². Tempk slankiklį ir žiūrėk: taškas (a; f(a)) nurodo, kur tiesė liečia, o trikampis rodo polinkį – pasislinkus 1 į dešinę, tiesė pakyla per f′(a).

Kodėl taip? Tiesė, einanti per tašką (x₀; y₀) su polinkiu k, užrašoma y = k(x − x₀) + y₀. Patikrink pats: kai x = x₀, skliaustas lygus nuliui ir gauname y = y₀, vadinasi, tiesė tikrai eina per tą tašką.

  • taškas – (a; f(a)), vieta grafike, kurioje tiesė liečia;
  • polinkis – f′(a), grafiko statumas toje vietoje.

A lygisLiestinė žinomame taške

Reikia liestinės parabolei y = x² taške a = 1.

f(1) = 1² = 1 ← taškas (1; 1)
f′(x) = 2x → f′(1) = 2 ← polinkis 2
y = 2·(x − 1) + 1 = 2x − 1

Tas pats atsakymas kaip B lygyje per diskriminantą ✓

B lygisŽinomas polinkis, taškas nežinomas

Su kokiu b tiesė y = 2x + b liečia parabolę y = x²? Liestinės polinkis lygus išvestinei:

f′(a) = 2 → 2a = 2 → a = 1

Toliau – kaip A lygyje: y = 2x − 1, t. y. b = −1.

Žinai polinkį → prilygini jam išvestinę → randi lietimosi tašką.

C lygisDvi paprastos parabolės

Bendrosios liestinės parabolėms f(x) = x² ir g(x) = −x² − 2. Lietimosi taškai dviejose parabolėse yra skirtingi, todėl juos žymime skirtingomis raidėmis: a pirmoje parabolėje ir c antroje.

Liestinė f taške a: f(a) = a², f′(a) = 2a
y = 2a(x − a) + a² = 2a·x − 2a² + a² = 2a·x − a²
k = 2a, b = −a²
Liestinė g taške c: g(c) = −c² − 2, g′(c) = −2c
y = −2c(x − c) − c² − 2 = −2c·x + c² − 2
k = −2c, b = c² − 2

Svarbiausia vieta. Tai ta pati tiesė, todėl jos polinkis ir b turi sutapti:

polinkiai: 2a = −2c → c = −a
b: −a² = c² − 2 → −a² = a² − 2 → a² = 1 → a = ±1

a = 1: y = 2x − 1; a = −1: y = −2x − 1. Sutampa su atsakymu per diskriminantą ✓

D lygis166 uždavinys per išvestinę

1. Liestinė f taške a. f′(a) = −2a + 9, f(a) = −a² + 9a − 23:

y = (−2a + 9)(x − a) + (−a² + 9a − 23)
b = −a·(−2a + 9) − a² + 9a − 23
= 2a² − 9a − a² + 9a − 23 = a² − 23
k = −2a + 9, b = a² − 23

2. Liestinė g taške c. g′(c) = 2c + 3, g(c) = c² + 3c − 6:

b = −c·(2c + 3) + c² + 3c − 6
= −2c² − 3c + c² + 3c − 6 = −c² − 6
k = 2c + 3, b = −c² − 6

3. Sulyginame – tai ta pati tiesė:

polinkiai: −2a + 9 = 2c + 3 → c = 3 − a
b: a² − 23 = −c² − 6 → a² + c² = 17

Ką tai reiškia – pažiūrėk brėžinyje. Tempk taško a slankiklį. Programa ima liestinę parabolei f taške a, o parabolei g – taške c = 3 − a (taip polinkiai visada vienodi). Vienodas polinkis reiškia, kad tiesės lygiagrečios. Bet dažniausiai jos nesutampa, nes jų b skiriasi. Tik esant a = 4 arba a = −1 abi tiesės susilieja į vieną – tai ir yra bendroji liestinė.

Raudona – liestinė parabolei f taške a. Žalia punktyrinė – liestinė parabolei g taške c = 3 − a.

4. Įstatome c = 3 − a:

a² + (3 − a)² = 17
a² + 9 − 6a + a² = 17
2a² − 6a − 8 = 0| : 2
a² − 3a − 4 = 0 → a = 4 arba a = −1 (Vieto: suma 3, sandauga −4)

5. Randame tieses:

ac = 3 − ak = −2a + 9b = a² − 23Liestinė
4−11−7y = x − 7
−1411−22y = 11x − 22

Atsakymas tas pats kaip per diskriminantą ✓ Be to, iš karto gavome ir lietimosi taškus: a – parabolėje f, c – parabolėje g.

ŠablonasBūdas per išvestinę

  1. Randi abi išvestines: (Ax² + Bx + C)′ = 2Ax + B.
  2. Liestinė f taške a: y = f′(a)(x − a) + f(a). Atskliaudi ir užrašai k ir b per a.
  3. Tas pats g taške c: k ir b per c.
  4. Sulygini polinkius ir sulygini b – gauni sistemą su a ir c.
  5. Iš polinkių lygties išreiški c per a ir įstatai į antrąją.
  6. Randi a ir c, o pagal juos – k ir b.
Viena raidė abiem taškams. Lietimosi taškai skirtingose parabolėse skiriasi – reikia a ir c.
Ženklas prie −a·f′(a). Pvz., −a·(−2a + 9) = +2a² − 9a: minusas kart minusas duoda pliusą.
Nesuprastintas b. Atskliausk iki galo, kitaip sulyginti bus nepatogu.
DiskriminantasIšvestinė
Tinkatik parabolėms (kvadratinėms funkcijoms)bet kokioms funkcijoms: kubinėms, šaknims, trupmenoms
Lietimosi taškaireikia skaičiuoti atskiraigaunami iš karto (a ir c)
166 uždaviniuišiek tiek trumpesnisšiek tiek ilgesnis

Parabolių uždaviniams (162–167) greitesnis diskriminantas. Bet išvestinę verta išmokti: uždaviniuose su x³ ir kitomis funkcijomis diskriminantas neveikia, o išvestinė veikia visada.

Pasitreniruok pats

Išspręsk pagal šabloną, tada atsiversk atsakymą.

167. f(x) = x² + 1 ir g(x) = −x² − 7
f: x² − kx + (1 − b) = 0 → k² − 4(1 − b) = 0 → 4b = 4 − k²
g: x² + kx + (7 + b) = 0 → k² − 4(7 + b) = 0 → 4b = k² − 28
4 − k² = k² − 28 → k² = 16 → k = ±4, b = −3

Atsakymas: y = 4x − 3 ir y = −4x − 3

165. f(x) = −x² ir g(x) = x² + 1
f: x² + kx + b = 0 → k² − 4b = 0 → 4b = k²
g: x² − kx + (1 − b) = 0 → k² − 4(1 − b) = 0 → 4b = 4 − k²
k² = 4 − k² → k² = 2 → k = ±√2, b = 1/2

Atsakymas: y = √2·x + 1/2 ir y = −√2·x + 1/2

Visi skaičiai patikrinti įstatant atgal į lygtis.